齿轮泵的瞬时流量及流量脉动的抑制
张永祥, 金健
上海大学 机电工程与自动化学院, 上海 200072

作者简介:张永祥(1988—),男,河南开封人,硕士,主要研究方向为液压传动技术。

摘要

针对齿轮泵瞬时流量的数学建模问题,提出控制面积法,分析转进与转出控制区域面积。讨论卸荷槽对降低齿轮泵流量脉动的影响,通过对齿轮泵流量脉动曲线分析,得出流量脉动和齿轮啮合位置关系,提出采用两对齿轮错相位叠加方法减小流量脉动,并分析如何实现错相位叠加,发现错相位叠加法能够有效减小齿轮泵的流量脉动。

关键词: 外啮合齿轮泵; 流量脉动; 错相位叠加
中图分类号:TH137 文献标志码:B 文章编号:1000-4858(2015)03-0046-05
Analysis of Instantaneous Flow and Restraint of Pulsation for External Gear Pump
ZHANG Yong-xiang, JIN Jian
School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University, Shanghai 200072
Abstract

In view of the problem of pump instantaneous flow model, a solution of controlling area is proposed. The area of rotating into and rotating out is analyzed. The impact of relief grooves on the flow pulsation is discussed. By analyzing the pump pulsation’s curve, we get the relation between pulsation and the meshing point. The interlaced phase superposition gears method to decrease the pulsation is proposed. The significance of reducing the gear pump’s flow pulsation is presented.

Key words: gear pump; flow pulsation; interlaced phase superposition
引言

渐开线外啮合齿轮泵因结构简单、成本低、对油不敏感、自吸能力强等特点而得到广泛应用。通过一对齿轮的相互啮合产生容积变化从而完成吸、排油过程。齿轮泵工作过程中的流量脉动是产生液压系统振动和噪音的主要原因, 本研究分析了卸荷槽和错相位叠加对减小齿轮泵流量脉动的作用。

关于齿轮泵流量脉动特性研究, Fabiani[1]等人通过微积分方法, 使用非线性方程推导出瞬时流量公式; N.D.Manring[2]等人和Mitome[3]等研究了多主动轮齿数和少从动轮齿数配合情况下的瞬时流量公式, 得出该情况下流量脉动减少明显, 但缺少对有开卸荷槽的情况的分析; KuoJao[4]等人采用控制体积法推导出瞬时流量公式, 但结果未做进一步简化; 文献[5]~[7]分别对多联齿轮泵进行了定性分析, 阐述了多联泵在减小流量脉动方面的作用, 缺乏理论计算支撑。张军[8]等人使用MATLAB仿真齿轮泵流量特性, 提出了并联式齿轮错位安装概念。本研究采用控制面积法, 推导出在有无卸荷槽情况下齿轮泵的瞬时流量及脉动表达式, 提出了错相位叠加的方法, 并推导出瞬时流量和流量脉动公式, 使用MATLAB仿真分析了错相位叠加对减小流量脉动的作用。

1 外啮合齿轮泵瞬时流量建模

图1所示, 假定齿轮泵无泄漏, 单位时间内进入和排出阴影区域的面积差, 乘以齿宽B, 即为净输出流量, 于是净输出流量可表示为:

图1 外啮合齿轮泵啮合工作原理图

QN¯=VI¯-VO¯=B(AI¯-AO¯)(1)

此处对主从动齿轮齿数相同的情况进行讨论。进入控制区域的面积 AI¯为:

AI¯=12ω1ra12+z1z2ra22=ωra2(2)

其中, ω 12。如图2a、2b所示, 排出面积分两部分, 一是齿轮渐开线转出面积 AOA¯, 二是啮合点沿啮合线移动走过的渐开线齿廓对应面积 AOV¯, 于是:

AO¯=AOA¯+AOV¯(3)

图2 齿轮从啮合点p1到啮合点p2转过面积

根据渐开线齿廓上任意一点P对应的半径rP、基圆半径rb、滚动角φ 、展角θ 、压力角α 的几何关系:

rp=rb2+(rbφ)2=rb(1+φ2)12φ=θ+αθ=invα=tanα-α

对齿轮1, 则在渐开线展角(θ x, θ y)范围内:

AOV1=θxθy12rp12=12rb2αxαytan2αdtanα=16rb2|tan3αx-tan3αy|(4)

其中, α x, α y分别表示啮合点沿渐开线移动所对应的渐开线的两个边界点的压力角。同样可得:

AOA1=|12rp12αx-12rp12αy|(5)

两式求导可得:

AOV1¯=|12rb2tan2α1sec2α1dα1dt|(6)

AOA1¯=|12rp12dα1dt|(7)

图3中可以看出渐开线上任意一点半径 rp1, 节圆半径rk, 啮合线长l和夹角β 的三角几何关系:

rp1=(rk2+l2-2rk·l·cosβ1)12l=l0-rbωtcosα1=rbrp1dα1dt=rbωtanα11rp12(rkcosβ1-l) AOV1¯+AOA1¯=12rbωcos2α1tanα1(rkcosβ1-l)|(8)

图3 渐开线齿廓啮合几何关系图

根据渐开线上任一点压力角α 和对应半径rp及基圆半径rb的几何关系:

cosα=rbrptanα=rp2-rb2rprkcosβ-l=rp2-rb2AO¯=rp12ωrp12-rb2|rkcosβ1-l+rp22ωrp22-rb2|rkcosβ2-l|=12ω(rp12+rp22)(9)

于是: QN¯= B · ( AI¯- AO¯)

=B ωra2-12ω(rp12+rp22)(10)

根据图3中几何关系:

rp12+rp22=2rk2+2l2

则有:

QN¯=ωB(ra2-rk2-l2)(11)

定义流量脉动系数:

η=QNmax-QNminQNav(12)

2 卸荷槽对瞬时流量及脉动的影响

设计参数一定的齿轮泵, 啮合线l的取值决定了齿轮泵的瞬时流量和流量脉动系数, 由于一对齿轮啮合的重合度总是大于1, 所以在有、无卸荷槽的两种情况下, l的取值不同。无卸荷槽时, l取决于最新进入啮合的齿轮对, 有卸荷槽时, 需要分三个阶段分析。第一阶段:齿轮对B的从动轮齿顶开始进入啮合(图4a), 此时齿轮对A处于啮合中, A与B之间的封闭区域通过右侧卸荷槽和排油区相通, l由A的啮合点位置决定, 直到齿轮转到第二阶段。第二阶段:齿轮转到两齿轮对A和B的啮合点关于节点K对称的位置(图4b), 此瞬时位置为临界位置, 封闭区域和左右卸荷槽均不连通。第三阶段: 齿轮对A和B的啮合点转过对称位置后, 封闭区域和左侧卸荷槽连通(图4c), 此时l值由B的啮合点决定。直到齿轮对C开始进入啮合, 重复第一阶段的情况。

图4 带卸荷槽齿轮泵齿轮啮合的三个阶段

2.1 有卸荷槽情况

图5a中ACA'所示是有卸荷槽的一个完整啮合周期。最大瞬时流量发生在啮合点和节点重合时, 如C点所示, 此时l=0, 即为:

QNmax1=ωB(ra2-rk2)(13)

第二阶段同时啮合的两对轮齿的啮合点关于点K对称, l= 12tj取最大值, tj=π · m· cosα 表示基圆基节, 如图5a中A点所示, 最小瞬时流量为:

QNmin1=ωBra2-rk2-14tj2(14)

从- 12tj12tj的一个周期内的总流量为:

Q=ωB(ra2-rk2-l2)dt=Brbra2-rk2-tj212tj

一个周期时间为t= tjωrb, 于是平均流量为:

QNav1¯=ωBra2-rk2-tj212(15)

其中, ra= mz2+ham, rk= mz2, 于是流量脉动系数:

η1=QNmax1-QNmin1QNav=3π2cos2α12(Z+ha)ha-π2cos2α(16)

2.2 无卸荷槽情况

图5a中BA'B'是无卸荷槽时的一个完整周期, 决定齿轮泵瞬时流量的是靠近排油口的一对啮合齿轮, 齿轮啮合的重合系数为ε , 当l=0, 最大瞬时流量:

QNmax2=ωB(ra2-rk2)(17)

当靠近排油口的一对啮合齿轮开始进入啮合时, 此时l= ε2取最大值, 最小瞬时流量:

QNmin2=ωBra2-rk2-ε24tj2(18)

- ε2tj1-ε2tj的一个啮合周期的总流量为:

Q=ωB(ra2-rk2-l2)dt=Brbra2-rk2-tj23ε2-6ε+4)12tj

一个周期时间为t= tjωrb, 平均流量为:

QNav2¯=ωBra2-rk2-tj2123ε2-6ε+4)(19)

则有此时流量脉动系数:

η2=QNmax2-QNmin2QNav2              =3ε2π2cos2α12(Z+ha)ha-(3ε2-6ε+4)π2cos2α(20)

2.3 算例分析卸荷槽的作用

分析齿轮设计参数相同且标准安装的渐开线外啮合齿轮泵。算例齿轮取值如下:模数m=2 mm, 齿数z=20, 分度圆压力角α =20° , 齿顶高系数ha=1.0, 顶隙系数c* =0.25, 齿宽B=20 mm, 转速n=1000 r/min, 可知该齿轮对的重合系数ε =1.557。有卸荷槽时齿轮泵的最大瞬时流量如图5a中C点为10.56 L/min, 最小瞬时流量如图5a中A点为9.46 L/min, 平均流量为10.19 L/min, 因此流量脉动系数为η 1=(10.56-9.46)/10.19=10.79%。无卸荷槽时, 最大瞬时流量不变, 最小瞬时流量如图5a中B点为7.9 L/min, 平均流量为9.85 L/min, 因此其流量脉动系数为η 2=(10.56-7.9)/9.85=27.00%。齿轮泵开卸荷槽时, 相对于无卸荷槽, 平均流量增大3.34%, 流量脉动降低了60%。结果表明设计卸荷槽可以明显降低齿轮泵的流量脉动。

图5 齿轮泵流量脉动仿真图

3 错相位叠加对减小脉动的作用

观察图5a中瞬时流量曲线, 开卸荷槽时瞬时流量呈现抛物线形状变化, 出现了流量最大的波峰如C点和流量最小的波谷如A点, 使用两对齿轮错相位叠加, 使一对啮合齿轮的瞬时流量波峰和另一对齿轮的瞬时流量波谷叠加, 从而减小流量脉动的跳动幅值。对于标准安装的标准齿轮, 在分度圆上齿厚和齿槽宽相同, 只需二者在沿圆周方向相错半个基节即 12tj对应的转角相位即可, 则有叠加后的瞬时流量:

QN¯=12ωB(ra2-rk2-l2)+12ωBra2-rk2-l-12tj2=ωBra2-rk2-l-14tj2-116tj2(21)

错相位叠加后, 齿轮泵的啮合周期为原有周期的一半, 即l0, 12tj内取值。当l= 14tjQN¯取得最大值, 当l= 12tj或者l=0时, QN¯取得最小值。

QNmax3¯=ωBra2-rk2-116tj2(22)

QNmin3¯=ωBra2-rk2-18tj2(23)

一个周期内的总流量为:

Q=ωB(ra2-rk2-l2)dt=B2rbra2-rk2-tj212tj

一个周期时间为t= tj2ωrb, 于是平均流量为:

QNav3¯=ωBra2-rk2-112tj2(24)

则有齿轮泵的流量脉动系数:

η3=QNmax3¯-QNmin3¯QNav¯=3π2cos2α48(z+ha)ha-4π2cos2α(25)

取上述算例中的数据, 最大瞬时流量如图5b中E点为10.28 L/min, :最小瞬时流量如图5b中D点为10.01 L/min, 平均流量为:10.19 L/min, 则流量脉动系数:η 3=(10.28-10.01)/10.19=2.65%。该结果对比没有错相位时的脉动系数η 1, 流量脉动减小了75%。结果表明, 对开有卸荷槽的齿轮泵进行两对齿轮的错相位叠加, 可以有效的降低齿轮泵的流量脉动。

4 结论

本研究使用了控制面积法推导了外啮合齿轮泵瞬时流量的精确计算公式, 通过算例证明了卸荷槽对减小齿轮泵流量脉动的重要作用, 根据开有卸荷槽时的流量脉动曲线, 提出错相位叠加法, 并分析了错相位叠加对进一步减小齿轮泵的瞬时流量脉动的有效作用。仿真实例表明, 卸荷槽可使齿轮泵的瞬时流量均匀变化, 错相位叠加法可大大减小齿轮泵的瞬时流量脉动。

The authors have declared that no competing interests exist.

参考文献
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[3] N. D. Manring, S. B. Kasaragadda, The Theoretical Flow Ripple of an External Gear Pump[J]. Transactions of the ASME, 2003, (125): 396-404. [本文引用:1]
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